伽瑪函數(shù)（Gamma函數(shù)），也叫歐拉第二積分，是階乘函數(shù)在實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)上擴(kuò)展的一類函數(shù)。該函數(shù)在分析學(xué)、概率論、偏微分方程和組合數(shù)學(xué)中有重要的應(yīng)用。與之有密切聯(lián)系的函數(shù)是貝塔函數(shù)，也叫第一類歐拉積分?？梢杂脕砜焖儆?jì)算同伽馬函數(shù)形式相類似的積分。

gamma函數(shù)——gamma函數(shù)歷史背景

1728年，哥德巴赫在考慮數(shù)列插值的問題，通俗的說就是把數(shù)列的通項(xiàng)公式定義從整數(shù)集合延拓到實(shí)數(shù)集合，例如數(shù)列1,4,9,16…..可以用通項(xiàng)公式n2自然的表達(dá)，即便n為實(shí)數(shù)的時(shí)候，這個(gè)通項(xiàng)公式也是良好定義的。直觀的說也就是可以找到一條平滑的曲線y=x2通過所有的整數(shù)點(diǎn)(n,n2),從而可以把定義在整數(shù)集上的公式延拓到實(shí)數(shù)集合。一天哥德巴赫開始處理階乘序列1,2,6,24,120,720,…,我們可以計(jì)算2!,3!,是否可以計(jì)算2.5!呢?我們把最初的一些(n,n!)的點(diǎn)畫在坐標(biāo)軸上，確實(shí)可以看到，容易畫出一條通過這些點(diǎn)的平滑曲線。但是哥德巴赫無法解決階乘往實(shí)數(shù)集上延拓的這個(gè)問題，于是寫信請教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼爾·伯努利，由于歐拉當(dāng)時(shí)和丹尼爾·伯努利在一塊，他也因此得知了這個(gè)問題。而歐拉于1729年完美地解決了這個(gè)問題，由此導(dǎo)致了伽瑪函數(shù)的誕生，當(dāng)時(shí)歐拉只有22歲。

Beta函數(shù)和Gamma函數(shù)有什么用？

應(yīng)用a.Beta函數(shù)和Gamma函數(shù)提供了大部分超幾何函數(shù)（Hypergeometricfunctions）的理論基礎(chǔ)。Gauss超幾何級數(shù)的積分表示便是借助了Beta積分。而Mellin-Barnes積分表示則是借助了Gamma函數(shù)的性質(zhì)，這使得超幾何級數(shù)在復(fù)平面上的延拓得以通過一種統(tǒng)一的形式得以實(shí)現(xiàn)。

應(yīng)用b.分?jǐn)?shù)階微積分，也就是通常牛頓-萊布尼茨微積分的推廣，也依賴于Beta和Gamma函數(shù)的定義。你可以看一下Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的定義。而由整數(shù)階導(dǎo)數(shù)到分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)（復(fù)數(shù)階導(dǎo)數(shù)）的插值就是來源于Gamma函數(shù)實(shí)際上是階乘n!的插值這一性質(zhì)。

應(yīng)用c.Riemannzetafunction的一個(gè)基本的積分表示其核心就是Gamma函數(shù)。而許多zeta函數(shù)的推廣都離不開Gamma函數(shù)。

應(yīng)用d.Laplace變換和Mellin變換，這兩個(gè)十分重要的積分變換，可以十分好的統(tǒng)一在Gamma函數(shù)的積分表示上。也就是說，Gamma函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的Mellin變換，同時(shí)還是冪函數(shù)的Laplace變換。

應(yīng)用e.Beta函數(shù)本身可以用來構(gòu)造概率分布。而高維的Beta函數(shù)，例如Dirichlet,Liouville型的Beta函數(shù)也在概率統(tǒng)計(jì)中有這重要的應(yīng)用價(jià)值。

應(yīng)用f.Selberg構(gòu)造的一個(gè)特別重要的multidimensionalBetaintegral在解決MacdonaldConjecture的過程中也起到了很大的作用。而它本身現(xiàn)在也成為了一個(gè)十分重要的研究對象。

總之，從Gamma和Beta函數(shù)出發(fā)，已經(jīng)生長出了足夠我們窮盡一生去探究的數(shù)學(xué)分支，它們的重要性就包含在其中，近年來，關(guān)于完全單調(diào)函數(shù)類的研究非常多，從而衍生出了許多諸如logarithmically這樣的更復(fù)雜的刻畫。在涉及這些主題的論文中，Gamma函數(shù)經(jīng)常作為構(gòu)造完全單調(diào)函數(shù)的元素出現(xiàn)。如果大家還想了解更多與之有關(guān)的信息，歡迎關(guān)注我們文軍營銷的官網(wǎng)。

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